Concept(s)-clé(s) et théorie

Définition 1 - Famille/Base Orthogonale/Orthonormal

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle$ et $S \subset V$ un sous-ensemble de $V$. On dit que $S$ est une famille orthogonale si $\langle u,v \rangle = 0 \quad \forall \ u,v \in S$ et que $S$ est une famille orthonormale (ou orthonormée) si de plus $\langle u,u, \rangle = 1$ pour tout $u \in S$. Enfin, si $S$ est une base de $V$, alors on parle de base orthogonale our de base othonormale (ou orthonormèe).

Proposition 1 - Représentation d'un vecteur par rapport à une base orthogonale

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle$ et $\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_n)$ une base orthogonale de $V$. Alors pour tout $v \in V$ on a

$$ ([v]_{\mathcal{B}})_i = \dfrac{\langle v,v_i \rangle}{||v_i||^2} $$

ceci pour tout $1 \leq i \leq n$. En particulier, si $\mathcal{B}$ est orthonormale, alors on a

$$ ([v]_{\mathcal{B}})_i = \langle v,v_i \rangle $$

ceci pour tout $1 \leq i \leq n$.

Proposition 2 - Produit scalaire et bases orthonormales

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace euclidien de dimension $n$ muni d'un produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle_V$ et $\mathcal{B}$ une base ordonée de $V$. Aussi, designons par $\cdot : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$. Alors

$$ \langle x,y \rangle_V = [x]_{\mathcal{B}} \cdot [y]_{\mathcal{B}} \quad \forall \ x,y \in V \qquad \Longleftrightarrow \qquad\mathcal{B} \ \ est \ une \ base \ orthonormale $$

Exercises et Exemples

import Librairie.AL_Fct as al
import Corrections.corrections as corrections
import numpy as np

Exercice 1

Considérez les familles de vecteurs suivantes dans $\mathbb{R}^n$ ($n \in \{2, \dots, 5 \}$) et déterminez si elles sont des familles/bases ortogonales/orthonormées, par rapport au produit scalaire donnée.

1. $\quad$ $V = \mathbb{R}^2$; $\qquad$ $\langle u,v \rangle_V = u^Tv$; $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ $ $\mathcal{F} = \left\{\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\right\}$

2. $\quad$ $V = \mathbb{R}^3$; $\qquad$ $\langle u,v \rangle_V = u^TAv \quad avec \ \ A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\qquad$ $\mathcal{F} = \left\{\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{5}}{5} \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{6}{5} \\ 0 \\ \frac{9}{5} \end{pmatrix}\right\}$

3. $\quad$ $V = \mathbb{R}^4$; $\qquad$ $\langle u,v \rangle_V = u^Tv$; $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ $ $\mathcal{F} = \left\{\begin{pmatrix} 2\\0\\1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\2\\1\\-1 \end{pmatrix}\right\}$

4. $\quad$ $V = \mathbb{R}^5$; $\qquad$ $\langle u,v \rangle_V = u^Tv$; $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ $ $\mathcal{F} = \left\{\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{7}}{7}\\0\\\frac{2\sqrt{7}}{7}\\\frac{\sqrt{7}}{7}\\-\frac{\sqrt{7}}{7} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix} \right\}$

corrections.Ex1Chapitre9_5()

Classez chaque famille

Cas 1 Famille Orthogonale Famille Orthonormale Base Orthogonale Base Orthonormale

Cas 2 Famille Orthogonale Famille Orthonormale Base Orthogonale Base Orthonormale

Cas 3 Famille Orthogonale Famille Orthonormale Base Orthogonale Base Orthonormale

Cas 4 Famille Orthogonale Famille Orthonormale Base Orthogonale Base Orthonormale

Vérifier

C'est correct! CAS 1: une famille de trois vecteurs dans un espace de dimension \(2\) ne peut pas être orthonormale et donc elle ne peut pas être une base; toutes les options sont fausses. CAS 2: par rapport au produit scalaire non-usuel défini via la matrice \(A\) symétrique et défini positive, cette famille de vecteurs est en fait une base orthonormée; en effet tous les produits scalaires entre les différents éléments de la famille sont égaux à \(0\) et les normes de tous les vecteurs (toujours calculés par rapport au produit scalaire non-usuel donné) sont égaux à \(1\). CAS 3: c'est une famille de \(4\) vecteurs orthogonaux (et donc linéairement indépendants!) dans \(\mathbb{R}^4\), donc c'est à la fois une famille orthogonale et une base orthogonale; de toute façon aucun des vecteurs n'a la norme unitaire et il n'y a donc pas d'orthonarmalité. CAS 4: il s'agit d'une famille de \(3\) vecteurs orthogonaux (et donc linéairement indépendants!) dans un sous-espace de dimension \(5\); donc, c'est une famille orthogonale (et aussi orthonormale), mais elle ne peut pas être une base.

C'est faux.

Exercice 2

Considérez les familles de fonctions suivantes et déterminez si elles sont des familles/bases ortogonales/orthonormées, par rapport au produit scalaire donnée.

1. $\quad$ $V = \mathbb{P}^3(\mathbb{R})$; $\qquad \qquad \ \ \ $ $\langle f,g \rangle_V = \int_0^1 f(x)g(x) \ dx$; $\qquad \qquad \qquad \qquad $ $\mathcal{F} = \left\{1, x, x^2, x^3\right\}$

2. $\quad$ $V = \mathbb{P}^4(\mathbb{R})$; $\qquad \qquad \ \ \ $ $\langle f,g \rangle_V = \int_0^1 f(x)g(x) \ dx$; $\qquad \qquad \qquad \qquad $ $\mathcal{F} = \left\{1, \ x-\frac{1}{2}, \ x^2-x+\frac{1}{6}, \ x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{5}x - \frac{1}{20}\right\}$

3. $\quad$ $V = \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$; $\qquad \qquad \ \ \ $ $\langle f,g \rangle_V = \int_{-1}^1 (1-x^2)f(x)g(x) \ dx$; $\qquad \qquad \quad$ $\mathcal{F} = \left\{\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{\frac{15}{2}}x, \frac{5\sqrt{7}}{7}x^2 - \frac{\sqrt{7}}{14}\right\}$

4. $\quad$ $V = \mathcal{C}\left([-\pi;\pi]; \mathbb{R}\right)$; $\qquad$ $\langle f,g \rangle_V = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) \ dx$; $\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ $ $\mathcal{F} = \{\sin(kx)\}_{k=1}^{+\infty} \cup \{\cos(kx)\}_{k=0}^{+\infty}$

corrections.Ex2Chapitre9_5()

Classez chaque famille

Cas 1 Famille Orthogonale Famille Orthonormale Base Orthogonale Base Orthonormale

Cas 2 Famille Orthogonale Famille Orthonormale Base Orthogonale Base Orthonormale

Cas 3 Famille Orthogonale Famille Orthonormale Base Orthogonale Base Orthonormale

Cas 4 Famille Orthogonale Famille Orthonormale Base Orthogonale Base Orthonormale

Vérifier

C'est correct! CASE 1: CAS 1: c'est la base du monôme standard de \(\mathbb{P}^4(\mathbb{R})\); de toute façon, il n'est ni orthogonal ni orthonormé par rapport au produit scalaire usuel. CAS 2: c'est une famille de \(4\) vecteurs dans un sous-espace de dimension \(5\), donc il ne peut pas être une base; de toute façon ses éléments sont orthogonaux entre eux, donc c'est une famille orthogonale (non orthonormé, car aucune des normes des vecteurs est égale à \(1\)). CAS 3: c'est une famille de \(3\) vecteurs orthogonaux, tous avec norme unitaire, dans un sous-espace de dimension \(3\); il s'agit donc d'une famille et d'une base orthogonales et orthonormées. Remarquez que tous les calculs doivent être effectués par rapport au produit scalaire non-usuel donné, caractérisé par la fonction de pondération \(w(x)=1-x^2\). CAS 4: c'est la base dite de Fourier et elle est constituée d'un nombre infini de modes, dont la fréquence augmente jusqu'à l'infini (étant infinie la dimension de l'espace vectoriel \(V = \mathcal{C}\left([-\pi;\pi]; \mathbb{R}\right)\)); de plus, tous les éléments sont orthogonaux entre eux, mais leurs normes sont égales à \(\sqrt{2\pi}\) (pour la fonction constante) et à \(\sqrt{\pi}\) (pour toutes les autres fonctions trigonométriques), donc la base est orthogonale mais non orthonormale.

C'est faux.

Exercice 3

Considerez les $\mathbb{R}$-espaces vectoriels $D$-dimensionnels suivant $V$, équipés de la base $\mathcal{B} = \{b_i\}_{i=1}^D$ et avec le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle_V$. Pour l'élément donné $v \in V$, calculez ses coordonnées par rapport aux éléments de la base $\mathcal{B}$ i.e. les coefficients réels $\left\{([v]_{\mathcal{B}})_i\right\}_{i=1}^D$, telles que $$v = \sum\limits_{i=1}^D ([v]_{\mathcal{B}})_ib_i$$

1. $\quad$ $V = \mathbb{R}^3$ $\qquad$ $\mathcal{B} =\left\{\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ $ $\langle u,v \rangle_V = u^Tv$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ $ $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. $\quad$ $V = \mathbb{R}^4$ $\qquad$ $\mathcal{B} = \left\{\begin{pmatrix} 2\\0\\1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\2\\1\\-1 \end{pmatrix}\right\}$ $\qquad \qquad \qquad \ $ $\langle u,v \rangle_V = u^Tv$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ $ $v = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

3. $\quad$ $V = \mathbb{P}^3(\mathbb{R})$ $\ \ \ $ $\mathcal{B} = \left\{1, \ x-\frac{1}{2}, \ x^2-x+\frac{1}{6}, \ x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{5}x - \frac{1}{20}\right\}$ $\ \ $ $\langle f,g \rangle_V = \int_0^1 f(x)g(x) \ dx$; $\qquad \qquad$ $v(x) = x^3 - x^2 + x - 1$

4. $\quad$ $V = \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ $\ \ \ $ $\mathcal{B} = \left\{\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{\frac{15}{2}}x, \frac{5\sqrt{7}}{7}x^2 - \frac{\sqrt{7}}{14}\right\}$ $\qquad \qquad \qquad \quad $ $\langle f,g \rangle_V = \int_{-1}^1 (1-x^2)f(x)g(x) \ dx$; $\quad$ $v(x) = x^2+x+1$

EXTRA: Dans quel cas, sur les deux derniers, la norme de $v$ peut être rapidement calculée et comment?

HINT

Dans le cas général (en supposant que $\mathcal{B}$ est une base de $V$!), les coefficients d'expansion peuvent être calculés en résolvant le système linéaire $D$-dimensionnel suivant

$$ \begin{pmatrix} \langle b_1, b_1 \rangle & \langle b_1, b_2 \rangle & \dots & \langle b_1, b_D \rangle \\ \langle b_2, b_1 \rangle & \langle b_2, b_2 \rangle & \dots & \langle b_2, b_D \rangle \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \langle b_D, b_1 \rangle & \langle b_D, b_2 \rangle & \dots & \langle b_D, b_D \rangle \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ([v]_{\mathcal{B}})_1\\ ([v]_{\mathcal{B}})_2\\ \vdots \\ ([v]_{\mathcal{B}})_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle v, b_1 \rangle \\ \langle v, b_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle v, b_D \rangle \\ \end{pmatrix} $$

Mais les choses peuvent être beaucoup plus faciles si $\mathcal{B}$ est une base orthogonale ou orthonormée de $V$ (voir la proposition 1)!

# CAS 1
v_B = [0,0,0] # INSÉREZ ICI VOTRE RÉSULTAT. UTILISEZ 4 CHIFFRES APRÈS LA VIRGULE!
corrections.Ex3Chapitre9_5(v_B, case_nb=1)

C'est faux! N'oubliez pas les 4 chiffres après la virgule.

Solution

Solution : [-1. -2. 3.]

# CAS 2
v_B = [0,0,0,0] # INSÉREZ ICI VOTRE RÉSULTAT. UTILISEZ 4 CHIFFRES APRÈS LA VIRGULE!
corrections.Ex3Chapitre9_5(v_B, case_nb=2)

C'est faux! N'oubliez pas les 4 chiffres après la virgule.

Solution

Solution : [-0.33333333 -1.33333333 -0.33333333 0.66666667]

# CAS 3
v_B = [0,0,0,0] # INSÉREZ ICI VOTRE RÉSULTAT. UTILISEZ 4 CHIFFRES APRÈS LA VIRGULE!
corrections.Ex3Chapitre9_5(v_B, case_nb=3)

C'est faux! N'oubliez pas les 4 chiffres après la virgule.

Solution

Solution : [-0.58333333 0.9 0.5 1. ]

# CAS 4
v_B = [0,0,0] # INSÉREZ ICI VOTRE RÉSULTAT. UTILISEZ 4 CHIFFRES APRÈS LA VIRGULE!
corrections.Ex3Chapitre9_5(v_B, case_nb=4)

C'est faux! N'oubliez pas les 4 chiffres après la virgule.

Solution

Solution : [1.27017059 0.36514837 0.52915026]

La base est orthonormée : la norme de \(v\) est donc celle de son vecteur de coordonnées, sans intégration numérique.

Passez au notebook du chapitre 9.6-9.7: Comment trouver une base orthogonale/orthonormale: le procèdè de Gram-Schmidt